Problem dwóch kul Dwie kule umieszczone w pochyłej rynnie i stykające się z sobą nie zawsze się staczają. Wyjaśnij to zjawisko i znajdź warunki, w jakich ono zachodzi. 1. Wstęp
W niniejszym artykule spróbujemy przedstawić jeden z problemów
postawionych na tegorocznej edycji Turnieju Młodych Fizyków oraz
zaproponowany przez naszą drużynę sposób jego rozwiązania. Zjawisko opisane
w treści zadania może wydawać się dość niezwykłe - wydawałoby się że kule
położone na pochyłej powierzchni zaczną się z niej po prosu staczać. Szanowny
Czytelniku - sprawdź. Ze swojej strony zapewniamy że fotografie obok
rzeczywiście przedstawiają układ spoczywających kul.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
Aby kulki pozostawały w równowadze muszą się ze sobą stykać. Aby tak było kąt ß nie może być zbyt mały: Proste rozważania geometryczne prowadzą do pierwszego warunku na stabilność naszego układu: 1)Przekonaliśmy się już że stykające się ze sobą kulki o różnych rozmiarach znajdują się w różnych odległościach od podstawy rynny. Znaczy to że prosta przeprowadzona przez ich środki tworzy z prostą równoległą do kierunku nachylenia rynny pewien kąt - nazwijmy go g. Wielkość ta okaże się przydatna przy analizie sił działających między kulkami.
2.3 Analiza warunków równowagi.
- siły reakcji rynny na niżej położoną kulkę - skierowane są
prostopadle do powierzchni styku rynny z kulką
Analogicznie jak siły działające na niższą kulkę
określamy siły działające na kulkę znajdującą się wyżej. Tak samo też
definiujemy wektorowe sumy sił działających na nią ze strony rynny: Teraz, uwzględniając grawitacyjne przyciąganie Ziemi, możemy przystąpić do napisania warunków równowagi.
Rozpatrując składowe sił na kierunku wyznaczonym przez spadek rynny otrzymujemy: Analogicznie dla kierunku prostopadłego do linii spadku mamy: Rozważając równowagę momentów działających na kulki dostajemy:Z powyższych dwóch wyrażeń wynika bezpośrednio że T = T1sinb = T2sinb Teraz pozostaje już tylko wyznaczyć z powyższego układu równań wielkości w nim występujące. I tak po wielu żmudnych przekształceniach otrzymujemy: Wartość siły nacisku między kulkami musi być zawsze większa od zera. Ten sam warunek musi zatem spełniać wyrażenie w nawiasie kwadratowym po prawej stronie powyższego równania ( cosg w naszym przypadku jest zawsze dodatni). Uwzględniając wyrażenie na sing i upraszczając nierówność dostajemy drugi warunek na równowagę kulek w rynnie: 2)Wartości pozostałych sił działających na kulki okazują się być następujące: Jak wiadomo wartość siły tarcia nie może przekroczyć pewnej wartości maksymalnej określonej jako iloczyn wartości siły reakcji i współczynnika tarcia statycznego. Wykorzystując tą własność dla występujących powyżej wzorów opisujących siły tarcia i odpowiadające im siły reakcji otrzymujemy następujące warunki na odpowiednie współczynniki tarcia między rozpatrywanymi przez nas obiektami: 3)4) 5) f - współczynnik tarcia statycznego między kulkami f1 - współczynnik tarcia statycznego między dolną kulką a rynną f2 - współczynnik tarcia statycznego między górną kulką a rynną
3. Doświadczalna weryfikacja zaproponowanego modelu. Napotkaliśmy jednak poważne problemy kiedy przyszło do wyznaczenia współczynników tarcia. Dopiero po wielu próbach udało się nam zbudować taki układ eksperymentalny dzięki któremu uzyskiwana dokładność pomiarów byłaby zadawalająca. Pokazuje go poniższy schemat: Deska była umocowana w pozycji pionowej za pomocą statywu. W kulkę wbite były szpilki po to, aby zapewnić jej możliwość swobodnego obrotu wokół osi przez nie wyznaczonej. Za pomocą widocznego po lewej stronie żelaznego ciężarka o znanej masie byliśmy w stanie określić siłę jaką kulka jest dociskana do deski. W oparciu o to, poprzez ciągniecie pionowo w dół nitki przymocowanej do dynamometru określaliśmy współczynnik tarcia - w momencie kiedy kula zaczynała się kręcić siłomierz pokazywał siłę co do wartości równą maksymalnej sile tarcia, z jaką deska działała da kulkę. Współczynniki tarcia między kulkami zmierzone zostały w podobny sposób - deska była zastępowana po prostu przez usztywnioną kulkę. Otrzymane wyniki wraz z błędami pokazuje tabela:
3.2 Porównanie przewidywań teoretycznych z wynikami eksperymentu. Warunki 1) - 5) pozwoliły nam przewidzieć w każdym przypadku czy i - jeśli tak - to w jakich granicach dany układ będzie stabilny. Należy zaznaczyć, że za każdym razem kulka o mniejszym promieniu była umieszczana niżej. Wydaje się że z naszego układu nierówności nie wynika bezpośrednio to, że niższa kulka musi mieć mniejszy promień. Eksperymentując jednak z różnymi rodzajami kulek nigdy nie udało nam się uzyskać w takim przypadku sytuacji statycznej. Poniższa tabela pokazuje że nasze przewidywania teoretyczne pozostawały w dość dobrej zgodności z doświadczeniem.
Widać, że w większości przypadków kąt krytyczny jaki uzyskaliśmy w eksperymencie jest nieznacznie większy od wyliczonego z pomocą naszego modelu. Jest to prawdopodobnie związane z faktem, że w naszych rozważaniach pominęliśmy deformacje powierzchni stykających się ciał. W rzeczywistości odkształcenia powodują że kulki klinują się w rynnie przez co układ staje się bardziej stabilny. Uwzględnienie roli deformacji komplikowałoby jednak i tak już dość złożone równania. Poza tym pojawiłyby się istotne trudności natury eksperymentalnej. Należy podkreślić że wraz ze zmniejszaniem się kąta rozwarcia rynny kulki coraz łatwiej się w niej klinują i od pewnego momentu zaproponowany przez nas model zjawiska przestaje być w ogóle użyteczny. Okazuje się bowiem że nawet pojedyncza kulka może spoczywać w rynnie nawet dla bardzo dużych nachyleń.
4. Podsumowanie Michał Oszmaniec |